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CONJUNTOS

Os números e suas propriedades são a base de toda a Matemática. São os números que possibilitam quantificar tudo que está à nossa volta. Vamos repassar alguns dos principais conjuntos numéricos, seus conceitos e suas propriedades.

Conjunto dos números naturais
Os números naturais são os números que utilizamos para contar: 0, 1, 2, 3 etc. Denotamos esse conjunto assim:
N = {0, 1, 2, 3, 4...}

Conjunto dos números inteirosAqui entram também os números inteiros negativos: -1, -2, -3 etc. Denotamos o conjunto dos números inteiros por:
Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}

No conjunto dos números inteiros, consideramos as quatro operações fundamentais: adição, subtração, multiplicação e divisão. Com respeito à operação de multiplicação temos alguns conjuntos especiais.

Conjunto dos múltiplos
Os múltiplos de um número são os produtos formados com esse número são os produtos formados com esse número. Por exemplo, 8 = 2.4, 12 = 3.4, 20 = 5.4 são exemplo de múltiplos de 4. Assim, os múltiplos de inteiro n são os números da forma kn = k.n.Denotamos o conjuntos dos múltiplos de n por:

M(n) = {... -4n, -3n, -2n, -n, 0, n, 2n, 3n, 4n, ...}

Conjunto dos divisores
Os divisores de um número inteiro n são os inteiros de quem n é múltiplo. Por exemplo, 4 é divisor de 20, pois 20 = 5.4. Assim, um número inteiro a é divisor de n se n = k.a. O conjunto dos divisores de n é denotado por D(n) e o conjunto dos divisores positivos de né denotado por D+(n). Por exemplo,

D(20) = {-20, -10, -5, -4, -2, -1, 1, 2, 4, 5, 10, 20} e
D+(20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

NÚMERO PRIMO

Os números primos são "tijolos" que utilizamos para construir os números inteiros com o "cimento" da multiplicação. Chamamos de número primo todo inteiro p>1 que possui exatamente dois divisores positivos, a saber, 1 e p. Algumas observações:
1. Existem infinitos números primos. Essa sequência infinita começa assim: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, ...
2. O número 2 é o único número par.
3. Um inteiro n > 1 que não é primo é chamado de número composto.
4. O inteiro 1, assim como o 0, não é primo nem composto.
5. Crivo Eratóstenes. O crivo de Eratóstenes (matemático grego do século III a.C) é um critério para determinar se um número n > 1 é primo. O critério estabelece que se n não possui divisor primo menor ou igual a , então n é primo. Esse critério diminui bastante o trabalho para verificar se um número é primo ou não.

O crivo de Eratóstenes (matemático grego de século III a.C.) é um critério para determinar se um número  é primo. O critério estabelece que se n não possui divisor primo menor ou igual a n√n√ , então n é primo. Esse critério diminui bastante o trabalho para verificar se um número e primo ou não.

Exemplo: 9√7≈9,89√7≈9,8  e os primos 2, 3, 5 e 7 (os primos menores ou iguais a 9,8) não são divisores de 97, logo, pelo crivo de Eratóstenes, concluímos que 97 é número primo!

Fatoração de um númeroUma fatoração de um número inteiro n é uma forma de expressar n como um produto de outros inteiros: n=n1⋅n2⋅⋯⋅nkn=n1⋅n2⋅⋯⋅nk. Os inteiros n1,n2,…,nkn1,n2,…,nk são os fatores. Por exemplo, 20 = 2∙10 e 20 = 4∙5 são fatorações distintas do número 20. No entanto, existe uma fatoração que é a mais importante de todas, é quando os fatores são todos números primos. Essa fatoração é chamada de fatoração primária de n. Por exemplo, 20 = 2∙2∙5=2²∙5  e esta é a fatoração primária de 20. A propriedade da fatoração primária é conhecida por Teorema Fundamental da Aritmética e é descrita a seguir.

Teorema Fundamental da AritméticaTodo número natural n>1 pode ser escrito como um produto de números primos. Denotamos isso assim: n=pe11⋅pe22⋅⋯⋅pekk)n=pe11⋅pe22⋅⋯⋅pekk)   onde  p1,p2,⋯,pkp1,p2,⋯,pk são os diferentes divisores primos de n. Uma consequência prática do Teorema Fundamental da Aritmética é essa fórmula para o cálculo do número de divisores positivos de n.

|D_+ (n)|=(e1e1+1)∙(e2e2+1)∙⋯∙(ekek+1)

Exemplo: O número de divisores positivos de 360=2323∙3232∙5151é igual a  (3+1)∙(2+1)∙(1+1)=24. 

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

(Uece) A quantidade de números, inteiros positivos, que são simultaneamente divisores de 48 e de 64 é

a) uma potência de 4.
b) um número primo.
c) igual a seis.
d) igual a oito.
e) igual  a 1

Os divisores de 64 e 48 são, respectivamente:

D(64) =1, 2, 4,8,16,32,64
D(48)=1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48

Logo, os números que são divisores simultâneos de 48 e 64 são:
1, 2, 4, 8, 16 ............5 divisores

Então, a resposta é  um número primo.

Gabarito: letra b.

(UFC) Os números naturais p=231231-1  e  q=261261-1  são primos. Então, o número de divisores naturais de 2pq é igual a:

a) 1
b) 2
c) 4
d) 6
e) 8

Solução 1
Os divisores de 2pq são: 1, 2, p, q, pq, 2p, 2q e 2pq. Logo a resposta vale 8.

Solução 2
Para se achar o número de divisores naturais de um número, decompõe esse número em fatores primos, toma-se os expoentes de cada fator, soma-se 1 a cada expoente e multiplicam-se. Fatorando, 2pq=2∙p∙q, pois 2, p e q são primos
n = (1+1)∙(1+1)∙(1+1)=2∙2∙2=8

Gabarito: letra e

(FGV-SP) Sejam x e y a soma e o produto, respectivamente, dos dígitos de um número natural. Por exemplo, se o número é 142, então x = 7 e y = 8. Sabendo-se que N é um número natural de dois dígitos tal que N = x + y, o dígito da unidade de N é:

a) 2.
b) 3.
c) 6.
d) 8.
e) 9.

Solução:
Sejam  a e  b, com a ≠ 0, os algarismos do número natural N. Temos:
N = ab = 10a + b ;  soma x = a+b ;  produto y = a∙b

Como N=x+y, temos que:
10a + b = a + b + ab ⇔ 9a = ab ⇔ b = 9
Logo, o dígito das unidades de N (o valor de b) é 9.

Gabarito: letra e.